Mathe Nachhilfe: Ferienspaß mit Pythagoras

Die Anschaffung eines neuen Kleiderschrankes im Zusammenhang mit einem Umzug in ein neues Haus mit veränderten Deckenhöhen hat schon in vielerlei Hinsicht Kopfschmerzen verursacht.

Bekannt ist die Situation, dass sich besagter Kleiderschrank im neuen Domizil nicht unterbringen lässt, weil die neue Deckenhöhe das Aufrichten des Schrankes nicht zulässt.

Hätten wir die Mathematikkenntnisse aus unserer Schulzeit aktiviert, dann wäre die Enttäuschung vermeidbar gewesen. Der Satz des Pythagoras beschreibt auf sehr einfache Weise die Relation der Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck: Danach ist das Quadrat über der Seite, die dem rechten Winkel (90°) gegenüberliegt (Hypotenuse) gleich der Summe der Quadrate über den Seiten, die den rechten Winkel einschließen (Katheten).

Mit diesem berühmten Lehrsatz lassen sich viele Probleme der Flächengeometrie spielend lösen. Auf unser Möbelproblem angewandt: Aus der Schranktiefe und der Schrankhöhe können wir mit Hilfe des Satzes von Pythagoras leicht die Länge der Diagonalen des Schrankquerschnittes ausrechnen. Es leuchtet ein, dass diese äußerstenfalls so lang sein darf wie die Deckenhöhe. Ein vernünftiger Sicherheitsabstand erleichtert die Aufstellarbeit.

Pythagoras (570 v. Chr. bis 510 v. Chr.) darf zu Recht als Leitbild eines Bildungsideals angesehen werden, das sich um ein ganzheitliches Weltbild bemüht. Die Forschungsergebnisse über sein Denken und Wirken sind nicht einheitlich.

Fest dürfte jedoch stehen, dass er als „Vor-Sokratiker“ Grundsteine der griechischen Philosophie, Mathematik und anderer Naturwissenschaften gelegt hat. In der Mathematik hat er sich über den bereits zitierten Lehrsatz der Euklidischen Geometrie hinaus unter anderem mit den Gebieten „Proportionentheorie“ mit Erkentnissen über die Mittelwertkategorien (arithmetisch, geometrisch, harmonisch) und dem Thema der sogenannten „Vierheit“ beschäftigt. Hier geht es um die Zahlen 1, 2, 3 und 4, die in Summe 10 ergeben, die Basis unseres Dezimalsystems.

Im Bereich der Musik gilt er mit seiner musikalischen Zahlenlehre, mit deren Hilfe die Oktave in Teilintervalle (Quarte, Quinte) zerlegt werden kann, als Entdecker der musikalischen Harmonielehre (siehe mein Beitrag „Musik und Naturwissenschaften“ hier im Nachhilfe-News-Blog. Darüber hinaus hat er intensiv über Astronomie (Konstellation der Fixsterne, Planeten und Monde) sowie über die Themen Religion und Gesellschaftslehre nachgedacht.

Doch zurück zu den rechtwinkeligen Dreiecken: Basierend auf dem Satz des Pythagoras entstanden weitere nützliche Lehrsätze, der Höhensatz und die beiden Kathetensätze, die mit dem erstgenannten zusammen die Gruppe der pythagoreischen Sätze bilden. Bei diesen weiteren Lehrsätzen kommt die auf der Hypotenuse errichtete Höhe h des rechtwinkligen Dreiecks ins Spiel, die die Hypotenuse in die Teilstrecken q (links von der Höhenfußpunkt) und p (rechts vom Höhenfußpunkt) aufteilt. Nach dem Höhensatz zum Beispiel ist die Fläche des Rechtecks mit den Kantenlängen p und q gleich dem Quadrat über der Höhe h: p*q = h²

Die so ergänzte pythagoreische Satzgruppe bietet im erweiterten Maße Möglichkeiten für die Berechnung von geometrischen Aufgabenstellungen und findet vielfältige praktische Anwendung.

Wenn das Ferienwetter schlecht ist, kann man durchaus auf den Gedanken kommen, sich mit dem Pythagoras als kleine Nachhilfe in Mathe die Zeit zu vertreiben. Wie wäre es, den Höhensatz zu verwenden, ohne Taschenrechner zu radizieren, was uns gemeinhin Mühe macht. Jede Zahl lässt sich als Produkt darstellen, zum Beispiel die Zahl 27 mit den Faktoren 3 und 9. Wir setzen q = 3 und p = 9, zeichnen zunächst die Strecke c = p + q mit den Endpunkten A und B, also die Hypotenuse unseres rechtwinkligen Dreiecks, und errichten auf c im Teilungspunkt q / p die Senkrechte.

Um nun die Höhe unseres Dreieckes zu konstruieren, benötigen wir die Hilfe eines anderen berühmten Griechen. Es ist Thales von Milet (624 v. Chr. bis 546 v. Chr.), der deutlich älter als Pythagoras, aber immer noch ein Zeitgenosse war. Auch er gilt als Vorsokratiker und ist in unseren Mathematikbüchern mit den Strahlensätzen und vor allem seinem Satz vom Thaleskreis vertreten, wonach alle Dreiecke, deren Grundseite mit dem Durchmesser eines Kreises identisch ist, wobei der dritte Punkt des Dreieckes auf dem zugehörigen Kreisbogen liegt, rechtwinklige Dreiecke sind.

In Anwendung dieses klugen Satzes zeichnen wir also den Thaleskreis über unserer Strecke c, der die zuvor auf c errichtete Senkrechte im Punkt C schneidet und damit die Höhe h festlegt. Nach dem Höhensatz hat die Höhe h die Länge √ ( p *q). Wir entnehmen unserer Konstruktion: h = 5.2. Bemühen wir zur Probe den Taschenrechner, so erhalten wir √ 27 = 5,196. Für viele Aufgaben genügt diese Genauigkeit in erster Näherung, und Spaß hat es auch gemacht.

Mir jedenfalls! Wem nicht, der nehme dies als Beitrag meinerseits, die Bedeutung der Mathematik im Besonderen und der Naturwissenschaften im Allgemeinen im Zusammenhang mit einem ganzheitlichen Bildungssystem und darüber hinaus deren Anwendungsbezogenheit zu betonen.