MINT Nachhilfe: Die Crux mit den Einheiten der Mathematik

Im Rückblick auf das zurück liegende Schulhalbjahr, in dem es wieder galt, unseren Schülerinnen und Schülern in Mathematik und Physik auf die Sprünge und – in einigen Fällen – über die Ziellinie zu helfen, bleibt ein Problemfeld lebendig im Gedächtnis, das den Umgang – präziser gesprochen – das Rechnen mit Größen und Einheiten betrifft.

Eine (Mint-) Größe besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit (Dimension).

Bei der Behandlung von Gebieten der Mathematik, in denen mit Einheiten behaftete Größen vorkommen, zum Beispiel in der Geometrie im zwei- oder dreidimensionalen Raum, aber noch viel mehr in der Physik wird immer wieder deutlich: Bei der Kenntnis der zu einer bestimmten Größe richtigen Einheit und den für hierfür geltenden Rechenregeln bestehen bei (Mint-Nachhilfe-) Schülern teilweise erhebliche Unsicherheiten.

Ein Nachhilfeschüler kommt empört mit der vom Mathe-Lehrer durchgesehenen und bewerteten Mathematikarbeit zum ABACUS Nachhilfelehrer: Unter anderem sollte das Volumen einer Pyramide mit quadratischem Grundriss mit einer Kantenlänge von 6 dm und einer Höhe von 100 cm berechnet werden. Im Grundsatz hat er alles richtig gemacht: Formelansatz stimmte, die Zahlenrechnung auch. Wenn es ganz „super“ gelaufen ist, dann hat er sogar erkannt, dass er die „dm“ in „cm“ umrechnen muss. Aber dann kommt es: In der Ergebniszeile steht – zweimal sauber unterstrichen – eine reine Zahl und der Lehrer bewertet das nur mit der halben Punktzahl. Zu der Einsicht, dass das zwar hart aber gerecht ist, muss der Schüler mit viel Verständnis für seine Bitterkeit, aber mit deutlichem Nachdruck gebracht werden.

Dass ein Volumen V die Einheit cm³ / dm³ / m³ hat, gehört auch zu den Lehr- und Lernzielen, die mit Erfolg in der Nachhilfe erarbeitet und erreicht werden müssen.

Die Grundlage unseres gesamten Größen- und Einheitensystems sind die drei mechanischen Größen mit ihren Einheiten:

• Länge s in Metern (1m),
• Masse m in Kilogramm (1kg) und
• Zeit t in Sekunden (1s).

Die zugehörigen Einheiten bilden die Basis des Internationalen Einheitensystems (SI). Sie sind keine abgeleiteten, sondern prototypisch definierte Einheiten.

Ursprünglich waren das Meter und das Kilogramm durch Vergleichsgegenstände (Prototypen) definiert, die vom Internationalen Büro für Maß und Gewicht in Sèvres bei Paris verwahrt wurden. Seit 1960 gilt das nur noch für das Kilogramm (Urkilogramm), das durch einen Zylinder aus edlem Platin-Iridium mit der Masse 1 kg definiert ist. Das Meter wird seit 1960 mit Hilfe der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum definiert, während die Sekunde durch einen kernphysikalischen Effekt (Zerfall Nuklid 133Cs) festgelegt wird.

Daneben gibt es 4 weitere Basiseinheiten im SI-System, zum Beispiel das Ampere (A) als Einheit des elektrischen Stromes. Übrigens sind alle anderen Einheiten im Bereich der Elektrophysik abgeleitete Einheiten. Im Physikunterricht in der Sekundarstufe I begegnen die vorgenannten drei Basiseinheiten (m, kg, s) unseren Schülerinnen / Schülern erneut beim Einstieg in die Mechanik.

Die erste abgeleitete Größe mit der zugehörigen Einheit ist dann in aller Regel die Geschwindigkeit v als Änderung des Weges Δ s in einer definierten Zeitspanne Δ t:

v = Δ s / Δ t  in  m/s.

Man erkennt unschwer: Wenn eine Größe mit der Einheit Meter (m) durch eine zweite mit der Einheit Sekunde (s) geteilt wird, so hat die resultierende Größe die Einheit m / s. Mit Einheiten rechnet man also genauso wie mit den mathematischen Größen beziehungsweise deren Maßzahlen.

Das zeigt uns auch der nächste Schritt: Er führt zur Beschleunigung a, die die Änderung der Geschwindigkeit Δ v in der zugehörigen Zeitspanne Δ t beschreibt:

a = Δ v / Δ t  in m / s²

Der erste Höhepunkt der physikalischen Exerzitien im Mechanikunterricht der Sekundarstufe ist zweifellos das Newtonsche Gesetz. Es gibt Auskunft darüber, welche Kraft F notwendig ist, einem Körper mit der Masse m die Beschleunigung a zu erteilen:

F = m * a Die zugehörige Einheit berechnet sich nach der vorgenannten Regel zu:

kg * m/s² Das ist die aus dem Newtonschen Gesetz abgeleitete Einheit der Kraft. Zu Ehren des Englischen Physikers Isaac Newton wurde vereinfachend gesetzt:

1 N ( Newton ) = 1kgm/s².

Fazit: Die Angabe einer physikalischen Größe macht nur Sinn mit Angabe der Maßzahl und der richtigen Einheit. Ein vom Autor häufig verwendeter Nutzen der Einheiten: Mit Hilfe der aus der Berechnung resultierenden Einheit kann man die Richtigkeit der verwendeten Berechnungsformel überprüfen. Wenn die errechnete Einheit nicht stimmt, war der Berechnungsansatz falsch. Aber auch hierbei muss man etwas wissen: nämlich die richtige Einheit. Ohne Basis-Wissen in den Mint-Fächern geht es also nicht, was zu beweisen war ;-).