Mathe oder Physik Nachhilfe? Die Proportionalität

Das Thema „Proportionalität“ und die – aus Sicht der geplagten Schüler – daraus resultierenden „Folgeschäden“ wie „Lineare Gleichungen“ oder auch – in der Sprache der Darstellung im Koordinatensystem: „Die Gerade“ ziehen sich fast lückenlos durch das naturwissenschaftliche Ausbildungsprogramm von der frühen Mittelstufe bis zum Abitur.

Das hat seine guten Gründe und ist ein erneutes und prägnantes Beispiel dafür, dass die Mathematik die geeignete Sprache zur Beschreibung und zum Verständnis von Sachverhalten ist, die uns in der Natur und darüber hinaus in vielen anderen Lebensbereichen begegnen. Die Frage könnte gestellt werden, was es denn mit der Proportionalität eigentlich auf sich hat.

Ein simples Experiment aus dem Physikunterricht kann hier Klarheit schaffen. Das Experiment, das vielen Lesern sicher bekannt ist, erklärt das so genannte Ohmsche Gesetz:

Im Physiklabor ist ein einfacher elektrischer Schaltkreis aufgebaut, in dem ein veränderbarer elektrischer Widerstand R aus einer Spannungsquelle gespeist wird, deren Spannung U variiert werden kann. Der elektrische Widerstand besteht üblicherweise aus Kupferdraht, der auf einen Isolierkörper – zum Beispiel aus Porzellan – gewickelt ist.

Einer der elektrischen Anschlüsse des Widerstandes zur Spannungsquelle hin ist mit einem „Schleifkontakt“ verbunden, mit dem die Länge des abgegriffenen Widerstandsdrahtes und damit der Widerstandswert R im Schaltkreis verändert werden kann. Zwischen die Spannungsquelle und den Widerstand ist ein Strommessgerät geschaltet, mit dem man den Strom I, der durch den Widerstand fließt, messen kann. Parallel zum Ausgang der Spannungsquelle liegt ein Spannungsmesser, der die Spannung U am Schaltkreis und damit praktisch am Widerstand (Einfluss der Leitungsdrähte sei vernachlässigt) misst.

Das Experiment ist sehr einfach: Variiert man die Speisespannung U bei fest eingestelltem Widerstandswert R, so steigt der Strom I im gleichem Masse, wie die Spannung erhöht wird. Trägt man die Messergebnisse in ein Diagramm „I über U“ ein, so erhält man eine Gerade.

Wird nun in einem zweiten Experiment der Widerstand R erhöht, zum Beispiel auf den doppelten Wert, so werden – verglichen zum ersten Experiment – die Stromwerte im Schaltkreis bei gleichen Spannungswerten halbiert. Im vorerwähnten Diagramm bestimmt der Kehrwert des Widerstandes 1/R die Steigung der I-U-Geraden, die nun entsprechend flacher verläuft.

Die Ergebnisse dieser Versuche fasst das Ohmsche Gesetz in der Form zusammen, dass der Strom I durch einen elektrischen Widerstand R der Spannung U am Widerstand proportional ist. Der Kehrwert des Widerstandes ist der verbindende Proportionalitätsfaktor (I = U x 1/R).

Ob der Sachverhalt leichter zu verstehen ist, wenn man das Experiment unter Einbezug des eigenen Körpers vollzieht, wie in einer aktuellen Fernsehsendung dargestellt, möchte ich nicht näher erörtern.

Zusammengefasst:

Proportionalität zwischen einer frei veränderlichen und einer abhängigen Größe bedeutet, dass die letztere im gleichen Maße wächst oder fällt, wie die Eingangsgröße gesteigert oder gesenkt wird. Es besteht – in anderen Worten – ein linearer Zusammenhang, der in einer Grafik Anlass zu einer Geraden gibt. Die Steigung dieser Geraden kann positiv (Zunahme) oder negativ (Abnahme) sein; sie ist ein kennzeichnender Parameter eines proportionalen Sachverhaltes.

In einem Mathematiklehrbuch, das im Bereich der Hauptschule verwendet wird, las ich kürzlich die Aufforderung an den Leser, zwischen proportionalen und antiproportionalen Ereignissen zu unterscheiden. Ich benötigte einige Zeit, bis ich begriffen hatte, dass der Autor ein Ereignis mit linear fallender Kennlinie „antiproportional“ nennt. Es ist wohl eher nicht zweckdienlich, mit zweifelhaften Begriffen Verwirrung zu stiften, wo Klarheit der Aussage angesagt ist.

Im Feld der Naturwissenschaften gibt es eine Vielzahl von Ereignissen mit proportionalem Verhalten. Aber nicht nur dort: Auch im vielen Bereichen des praktischen Lebens begegnen wir ihnen ständig. Die Wegstrecke, die wir bei konstanter Geschwindigkeit mit einem Fahrzeug zurücklegen, wächst mit zunehmender Fahrzeit linear. Der Preis, den wir an der Tankstelle für eine Tankfüllung bezahlen müssen, ist über den jeweils gültigen Preis / Liter proportional der Anzahl der gezapften Liter. Daran ändert sich im Grundsatz auch nichts durch die unerfreuliche Tatsache, dass der Preis / Liter mehrere Male am Tag variiert, meistens erhöht wird.

Der Ärger über den höheren Endpreis bei gleicher Anzahl der Liter hat also seinen Grund auch in der „Proportionalität“.

Proportionalität ist demnach die einfachste Form gesetzmäßigen Wachsens oder Schrumpfens. Daher sind diese Zusammenhänge leicht zu erlernen und zu begreifen. Die damit erworbene Kenntnis hilft uns beim Verständnis vieler Vorgänge in der Natur und bei der praktischen Bewältigung von zahlreichen Alltagsaufgaben. Es lohnt also – wie immer – die Mühe und die Mathe Nachhilfe bei ABACUS